פונקציה קווית, משוואת ישר | לומדים מתמטיקה (2024)

את נושא הפונקציה הקווית ניתן לחלק ל 3.

1. פונקציה קווית ונקודה.
2. מציאת משוואת הישר.
3. גרף פונקציה קווית.

לכל אחד מהנושאים הללו יש באתר סיכום בכתב ובוידאו.

את הסיכום הכתוב + הוידאו + קישורים לדפים קטנים ומפורטים יותר תוכלו למצוא בשלושת הקישורים שלמעלה.

בדף זה תוכלו למצוא:

1. סיכום וידאו של כל אחד משלושת הנושאים (למנויים).
2. 13 תרגילים מסכמים (לכולם).

1.פונקציה קווית ונקודה

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

4.תרגילים

התרגילים המופיעים כאן הם תרגילים מסכמים וקשים יחסית. הם מיועדים למי שיודע כיצד מוצאים משוואת ישר. למי שרוצה חזרה הנושא יש תרגילים נספים בדף מציאת משוואת ישר.

תרגיל 1: מציאת נקודות על ישר, האם נקודה נמצאת על ישר

נתונה פונקציה קווית y = 3x – 3.

1. מה קצב השינוי של הפונקציה (קצב השינוי = שיפוע).
2. שרטטו טבלה עם 3 נקודות שעל הישר.
3. מה ערך הפונקציה כאשר x = 0?
4. מה הערך של x כאשר y =0 ?
5. האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
6. שרטטו גרף של הפונקציה (אם לא למדתם תלמדו בהמשך).

פתרון

סעיף א: קצב השינוי ושיפוע הישר
הנוסחה של משוואת הישר היא y = mx + n
המקדם של x שהוא m מייצג את קצב השינוי (שיפוע).
קצב השינוי הוא 3, m = 3.

סעיף ב: מציאת 3 נקודות על הישר
נבחר את הנקודות x=0, x =1, x=2
כי הן קלות (ניתן לבחור כל ערך x אחר).
נציב כל אחת מהנקודות הללו במשוואת הישר.
y =3x – 3

כאשר x = 0 ערך ה y הוא:
y =3x – 3
y = 3*0 – 3 = -3
הנקודה: 3-, 0

כאשר x = 1
y =3x – 3
y = 3 * 1 – 3 = 3 – 3 = 0
הנקודה: 1,0

כאשר x = 2
y =3x – 3
y = 3 * 2 -3 = 6 – 6 = 3
הנקודה 3, 2

שלושת הנקודות הללו בטבלה נראות כך:

• טבלת ערכים תרגילים נוספים.

סעיף ג: ערך הפונקציה ב x =0
נציב x= 0 במשוואת הישר
y =3x – 3
y = 3*0 – 3 = -3
הנקודה: 3-, 0

סעיף ד: ערך הפונקציה ב y =0
על מנת למצוא את ערך הפונקציה הקווית כאשר y=0 נציב y=0 במשוואת הפונקציה y = 3x – 3.
3x -3 = 0 / +3
3x = 3 /:3
x = 1
תשובה: כאשר y= 0 אז x = 1.

סעיף ה: האם הפונקציה עוברת דרך ראשית הצירים?
כלומר דרך הנקודה 0,0.
נציב 0,0 במשוואת הפונקציה ונראה.
0 = 3 – 3*0
0 = 3-
זה לא נכון ולכן הפונקציה אינה עוברת דרך ראשית הצירים.

סעיף ו: שרטוט גרף הפונקציה.

1. נשים 3 נקודות מהטבלה על גרף.
2. ואז נחבר בניהן באמצעות קו (ונמשיך את הקו גם מעבר להן). זה גרף הפונקציה.

תרגילים בנושא מציאת משוואת הישר

תרגיל 2: משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה, שיפוע ישרים מקבילים

1. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (2,4-) ושיפועו 1-.
2. מה משוואת הישר המקביל לישר שמצאתם בסעיף 1 ועובר דרך הנקודה 0,0.

פתרון
סעיף א: מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה
כאשר יש לנו שיפוע ונקודה נציב אותם בנוסחה ונמצא את משוואת הישר.
זו הנוסחה
(y – y₁ = m(x-x₁
ואלו הנתונים:
m = -1, והנקודה (2,4-)

((y – 4 = -1(x-(-2
(y-4 = -1(x+2
y -4 = -x -2 / +4
y = -x +2
(זו משוואת הישר)

סעיף ב: מציאת משוואת ישר מקביל
שיפוע ישרים מקבילים שווה.
שיפוע הישר שמצאנו y = -x +2 הוא 1-.
לכן שיפוע הישר המקביל 1-.
והוא עובר דרך הנקודה 0,0.

זה למעשה עוד תרגיל של מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y – y₁ = m(x-x₁
(y – 0 = -1(x-0
y = -x

הגרף של שני הישרים נראה כך:

תרגיל 3: משוואת ישר על פי שתי נקודות

1. מצאו את משוואת הישר העובר
   דרך הנקודות (1,0) (3, 2-).
2. מה השיפוע של ישר זה?
3. מהסתכלות במשוואת הישר בלבד.
   מה היא נקודת החיתוך של ישר זה עם ציר ה Y?

פתרון

שיפוע ישר על פי שתי נקודות נתון על ידי הנוסחה

נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:

עכשיו נמצא משוואת ישר על פי נקודה (0, 1) ושיפוע 1-.
(y – y₁ = m(x-x₁
(y – 0 = -1(x-1
y = -x + 1

חלק שני
y = -x + 1
במשוואת ישר סטנדרטית קצב ההשתנות או השיפוע הם המקדם של x.
במקרה הזה 1-.

הערה: משוואת ישר סטנדרטית היא מהצורה
y = mx + n
והשיפוע / קצב ההשתנות הוא m.
משוואת ישר לא סטנדרטית היא כאשר המבנה הוא אחר, למשל:
y + 2x = 4
2y = 5x + 1
y – 1 = 2x
ואת המשוואות הללו יש להעביר למצב סטנדרטי על מנת למצוא את השיפוע.

חלק שלישי
במשוואת ישר y = mx + n
ערך ה y בנקודת החיתוך עם ציר ה y הוא n.
לכן עבור הישר y = -x + 1
נקודת החיתוך היא (1, 0).

תרגיל 4: מציאת נקודת החיתוך עם הצירים, תחומי חיוביות ושליליות

1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר y = 0.5x -2 עם הצירים.
2. מצאו את התחום שבו הישר חיובי והתחום שבו הישר שלילי.
3. דרך נקודת החיתוך של הישר y = 0.5x -2 עם ציר ה x מעבירים ישר המקביל לציר ה y מצאו את משוואת הישר.

פתרון

סעיף א: מציאת נקודות חיתוך
חיתוך של ישר עם ציר ה y מציבים x = 0
חיתוך של ישר עם ציר ה x מציבים y =0

חיתוך עם ציר ה y
מציבים x = 0
y = 0.5x -2
y = 0.5*0 – 2 = -2
(2- , 0) נקודת החיתוך עם ציר ה y.

חיתוך עם ציר ה x
מציבים y=0
y = 0.5x -2
0.5x – 2 = 0 / +2
0.5x = 2 / *2
x = 4
(0, 4) נקודת חיתוך עם ציר ה x.

סעיף ב: תחומי חיוביות ושליליות
y = 0.5x -2
דרך אחת למצוא את תחומי החיוביות והשליליות היא לפתור את האי שוויון:
0.5x – 2 > 0
0.5x > 2
x > 4
מצאנו שהישר חיובי כאשר x > 4 ולכן הישר שלילי כאשר x < 4.

דרך שנייה למצוא חיוביות שליליות היא באמצעות גרף
הישר חותך את ציר ה x בנקודה (0, 4).
מכוון שהמקדם של x במשוואת הישר הוא חיובי אז הפונקציה היא פונקציה עולה.
לכן הפונקציה חיובית כאשר x>4 ושלילית כאשר x<4.

ניתן לזהות את תחומי החיוביות והשליליות בגרף.

סעיף ג: משוואת ישר המקביל לציר ה y
דרך הנקודה (0, 4) מעבירים ישר המקביל לציר ה y.
התכונה של ישרים המקבילים לציר ה y היא שיש להם ערך x קבוע לכל אורכם.
ומכוון שבנקודת החיתוך היא x =4 אז משוואת הישר היא x = 4.

תרגיל 5

ידועה משוואת הישר y = -3x +4 ומשוואת הישר y = (a+5)x + 1 (כאשר a הוא פרמטר).
עבור איזה ארך של a שני הישרים מקבילים?
עבור אלו ערכים של a הישרים אינם מקבילים?

פתרון
על מנת שהישרים יהיו מקבילים המקדמים של x צריכים להיות שווים בשתי המשוואות.
לכן צריך להתקיים:
a + 5 = -3
a = -8
תשובה: עבור a = -8 הישרים מקבילים.

סעיף ב: עבור אלו ערכים של a הישרים לא מקבילים?
בכול המקרים שבהם a ≠ -8 הישרים לא מקבילים.

תרגיל 6: ישר מקביל לצירים, שטח משולש

נתונה הפונקציה הקווית y = -2x + 3.

1. מצאו את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y (מסומנת בשרטוט כנקודה A).
2. על ציר ה y נמצאת הנקודה (B (0, -4. חשבו את המרחק בין הנקודות A ו B.
3. דרך הנקודה B מעבירים את הישר BC המקביל לציר ה x .
   מצאו מה ערכי הנקודה שבה הישר המקביל חותך את הפונקציה הקווית y = -2x + 3 (הנקודה C שבגרף).
4. חשבו את שטח משולש ABC.

פתרון
סעיף א: מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה y.
מציבים x = 0 במשוואת הפונקציה.
y = -2x + 3.
y = -2*0 +3 = 3
(A (0, 3

סעיף ב: חישוב מרחק
(A (0, 3
(B (0, -4
לכן אורכו של AB הוא
7 = (4-) – 3

סעיף ג: מציאת הנקודה C.
ישר המקביל לציר ה x הוא ישר עם ערך y קבוע לכול אורכו.
בנקודה B מתקיים y = -4 ולכן גם בנקודה C מתקיים y = -4.

נציב y= -4 במשוואת הישר ונקבל את ערך ה x בנקודה C.
y = -2x + 3
2x + 3 = -4 / -3-
2x = -7 /:2-
x = 3.5
תשובה: הנקודה (C (3.5, -4

סעיף ד: חישוב שטח משולש
משולש ABC הוא משולש ישר זווית.
כאשר הניצבים הם AB,BC.

מצאנו בסעיף ב שאורך הניצב AB הוא 7.

נחשב את אורך הניצב BC.
המרחק בין הנקודות(B (0, -4 ו(C (3.5, -4 הוא:
3.5 = 0 – 3.5

שטח המשולש הוא:
S = (3.5 *7) / 2
S = 24.5 / 2 = 12.25
12.25 = 2 : 24.5
תשובה: שטח משולש ABC הוא 12.25 יחידות ריבועיות.

תרגיל 7: בניית פונקציה קווית על פי טבלה

נתונות שתי טבלאות של ערכי x וערכי y.
ידוע כי הטבלאות הללו מייצגות פונקציה קווית.
התאימו לכל אחת מהטבלאות משוואה של פונקציה קווית.

טבלה ראשונה

טבלה שנייה

פתרון

נבנה משוואת ישר עבור הטבלה הראשונה.

בניית משוואת ישר היא בעצם מציאת m,n במשוואה:
y = mx + n
m מבטא את השיפוע או קצב השינוי.
n הוא הערך של y כאשר x = 0.

מציאת m
אנו רואים שכאשר x גדל ב 2 ערך ה y גדל ב 1.
לכן כאשר x גדל ב 1 ערך ה y גדל ב 0.5.
קצב השינוי הוא 0.5
m= 0.5.

מציאת n
ערך ה n הוא ערך ה y כאשר x= 0.
כאשר x =2 אז y = 10.
קודם מצאנו שכאשר x גדל ב 2 ערך ה y גדל ב 1.
לכן כאשר x קטן ב 2 ערך ה y קטן ב 1.
לכן כאשר x = 0 אז y = 9.
n = 9.

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = 0.5x + 9

בדיקה:
נציב את ערכי x המופיעים בטבלה ונראה אם אנו מקבלים את ערכי ה y המתאימים להם:
x =2
y = 0.5 *2 + 9
y = 1 + 9 = 10
(מתאים לטבלה)

x = 4
y = 0.5 * 4 + 9
y = 2 + 9 = 11
(מתאים לטבלה)

שתי נקודות מספיקות לבדיקה.

הטבלה השנייה.

מציאת m
אנו רואים שכאשר ה x גדל ב 4 ערך ה y קטן ב 10.
לכן כאשר ערך ה x גדל ב 1 ערך ה y קטן ב 2.5.
2.5 – = 4 : 10-
לכן m = -2.5

מציאת n
עלינו למצוא את הערך של y כאשר x = 0.
כאשר x = -2 ערך ה y הוא 0.
לכן כאשר x = 0 ערך ה y הוא 5-.
n = -5

משוואת הישר המתאימה לטבלה היא:
y = -2.5x – 5

תרגיל 8: אי שוויונית קווים, משמעות גרפית

נתונים הגרפים של הפונקציות
g (x)= -5x ו f(x) = -2x +2.

1. מצאו את הנקודה A.
2. עבור אלו ערכים (g(x) >f (x.
   הסבירו באמצעות גרף ולא באמצעות חישוב.

פתרון

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הגרפים נקודה זו ערכי ה X וה Y שווים.
(f(x) = g (x
2x + 2 = -5x / +2x –
3x = 2 / : -3-
x = – 0.666

מצאנו את ערך ה x בנקודה A. עכשיו עלינו למצוא את ערך ה y בנקודה:
y = -5 * -0.666 = 3.333

(A (-0.666, 3.333

חלק שני
בהתבוננות בגרף ניתן לראות שהגרף (g(x נמצא מעל גרף (f(x משמאל לנקודת החיתוך A.
כלומר כאשר x< -0.666.

תרגילים בנושא בעיות מציאותיות, הקשר בין גרף למשוואה

תרגיל 9: בניית פונקציה קווית על פי נתונים

בפארק שעשועים מחיר הכניסה לאתר הוא 20 שקלים
ולאחר מיכן צריך לשלם 15 שקלים עבור כל מתקן עליו עולים.
כתבו פונקציה קווית המתארת את הקשר שבין מספר
המתקנים שעליהם עולים לבין הסכום לתשלום

פתרון
אם x הוא מספר המתקנים עליו עולים.
אז 15x הוא הסכום שמשלמים עבור העליה למתקנים.
למי שזה לא ברור ניתן להסתכל הטבלה הבאה:

15x הסכום לתשלום עבור המתקנים.
20 שקלים לתשלום בכניסה.
סך הכל לתשלום 15x+20.
y=15x+20 – זו הפונקציה הקווית.

אם היה לכם קושי במציאת הפונקציה ניתן לבנות טבלה ובעזרתה לבנות את הפונקציה.

דרך אחרת להבין את הפתרון
משוואת ישר נראית כך:
y = mx + n
הרכיב n הוא מספר קבוע שאינו משתנה ולכן מתאים להוצאה הקבועה של כניסה לפארק.
n = 20.
לעומת זאת mx הוא רכיב המשתנה כאשר x משתנה ולכן זה מתאים להוצאה המשתנה כאשר עולים על מספר שונה של מתקנים.
mx = 15x.
y = 15x + 20

הסבר מפורט לדרך זו בסרטון הוידאו.

• תרגילים נוספים בסגנון זה בדף ביטוי אלגברי.

תרגיל 10: הקשר שבין בעיה מציאותית לפונקציה קווית

שני פועלים מעמיסים שתי משאיות שונות.
שתי המשאיות לא היו ריקות בזמן תחילת המילוי.
שתי פונקציות קוויות מתארות את כמות הארגזים בכול משאית כפונקציה של הזמן.

המשתנה x הוא הזמן בדקות.
כלומר כאשר x =1 זה מתאר את כמות הארגזים במשאיות כעבור דקה אחת.

f (x ) = 20 + 3x (פועל א).
g (x ) = 50 + 2x (פועל ב).

1. קצב המילוי של איזה פועל מהיר יותר?
2. כמה ארגזים היו בכל אחת מהמשאיות כאשר הפועלים התחילו למלא?
3. כעבר כמה זמן כמות הארגזים במשאיות תהיה שווה?

פתרון
קצב המילוי של פועל א מהיר יותר.
קצב המילוי נקבע על ידי המקדם של x. ואצל פועל א המקדם הוא 3 לעומת 2 אצל פועל ב.
למשל:
ב x = 5.
כמות הארגזים אצל פועל א היא:
35 = 5 * 3 + 20
ואצל פועל ב היא:
60 = 5 * 2 + 50

ב x = 6
אצל פועל א
38 = 6*3 + 20
ואצל פועל ב:
62 = 6 *2 + 50

כלומר לפועל א נוספו 3 ארגזים ולפועל ב נוספו 2 ארגזים.
קצב המילוי של פועל א גבוה יותר.

סעיף ב: מספר הארגזים לפני המילוי
x = 0 מתאר את הזמן ההתחלתי לפני שהתחילו במילוי.
נציב x = 0 בכול אחת מהמשוואות.
f (x) = 20 + 3x
f (0) = 20 + 3*0 = 20
כלומר בזמן 0 היו במשאית 20 ארגזים.

g (x) = 50 + 2x
g (0) = 50 + 2*0 = 50
כלומר בזמן 0 היו במשאית 50 ארגזים.

תשובה: מספר הארגזים לפני המילוי במשאית של פועל א היה 20.
ואצל פועל ב 50.

סעיף ג: כמות שווה
f (x ) = 20 + 3x
g (x ) = 50 + 2x

כמות שווה של הארגזים תהיה כאשר
(f (x) = g (x
נבנה משוואה:
3x + 20 = 2x + 50
3x + 20 = 2x + 50 / -2x – 20
x = 30
בזמן x=30, לאחר 30 דקות של מילוי, כמות הארגזים בשתי המשאיות תהיה שווה.

תרגיל 10: בעיה מילולית, בעיית גרף ופונקציה קווית

ברז א ממלא את בריכה א וברז ב מרוקן את בריכה ב (בריכה אחרת).
הגרף הבא מתאר את כמות המים בליטרים שיש בכול אחת מהבריכות כפונקציה של הזמן.

1. מה מתארות הנקודות A,B,C,D?
2. מה הקצב שבו ברז א ממלא את הבריכה ומה הקצב שבו ברז ב מרוקן את הבריכה?
3. *בנו משוואת ישר המתארת את כמות המים בכול אחת מהבריכות.

פתרון

סעיף א

הנקודה A.
בנקודה A הזמן הוא 0.
לכן A היא הנקודה שבה ברז א התחיל למלא את הבריכה.

הנקודה B
בנקודה B שני הגרפים נפגשים.
לכן B היא הנקודה שבה כמות המים שבשתי הבריכות הייתה שווה.

הנקודה C
הנקודה C היא הנקודה האחרונה בגרף של ברז א.
לכן C היא הנקודה שבה ברז א סיים למלא 500 ליטרים בבריכה.

הנקודה D
בנקודה D כמו המים בבריכה ב הוא 0.
לכן D היא הנקודה שבה ברז ב סיים לרוקן את בריכה ב.

סעיף ב

ברז א ממלא 500 ליטרים תוך 3 שעות
לכן הקצב שבו הוא ממלא הוא
166.66 = 3 : 500
166.66 ליטרים בשעה.

ברז ב מרוקן 500 ליטרים תוך 5 שעות
לכן הקצב שבו הוא מרוקן הוא
100 = 5 : 500
100 ליטרים בשעה.

*סעיף ג: בניית משוואת ישר
כמות המים בכול אחת מהבריכות מתוארת בגרף על יד קו ישר.
ניתן להגיד שהמשוואה של כל אחד מהגרפים היא: y = mx + n.

כאשר y זו כמות המים בבריכה בכול זמן נתון (מתואר על ידי ציר ה y)
ו- x זה הזמן שעבר מתחילת מילוי / ריקון הבריכה (מתואר על ידי ציר ה x).

מציאת n
כאשר נציב זמן 0 (כלומר x= 0) במשוואת הישר נקבל:
y = m * 0 + n
y =n
נקודת החיתוך עם ציר ה y מיוצגת על ידי x =0, ובה y = n.
זו נקודת ההתחלה מבחינת הזמן.

בנקודת ההתחלה עבור ברז א y=0 ולכן n =0.
בנקודת ההתחלה עבור ברז א y=500 ולכן n =500.

מציאת m
כמו כן השיפוע של הישר הוא קצב המילוי / ריקון של הבריכה.

בריכה א מתחילה מ 0 לכן n=0. השיפוע הוא קצב המילוי m=166.66.
לכן המשוואה המתארת את ברז א היא:
y = 116.66x.

בריכה ב מתחילה מ 500 לכן n=500.
השיפוע הוא קצב המילוי לכן m= -100. (סימן המינוס מבטא את זה שהברז מרוקן).
לכן המשוואה המתארת את ברז ב:
y = -100x+500.

תרגילים המשלבים את תכונות המשולש והמלבן

תרגיל 1

במשולש ישר זווית ABC הניצבים הם AB⊥BC.
הנקודה (D(5,4 נמצאת על AB.
(A (6,6) , C(8,0

1. מצאו את משוואת הישר AB.
2. האם הנקודה (E (0,0 נמצאת על הישר AB?
3. מצאו את משוואת BC.
4. מצאו את הנקודה B.

פתרון

חלק 1.
משוואת הישר AB היא משוואת הישר AD (כי D נמצאת על AB).
(A (6,6) ,D(5,4
m = (6-4) / (6-5) = 2 /1=2
נציב במשוואת הישר:
y – 6 = 2(x-6) = 2x-12
y = 2x-6 זו משוואת AB.

חלק 2.
נציב(E (0,0 במשוואת AB.
0 = 6- 2*0
0= 6-
זה לא נכון לכן(E (0,0 לא נמצאת על AB.

חלק 3.
(C(8,0.
BC מאונך ל AB לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * 2 = -1
m = -0.5
נציב במשוואת הישר:
y – 0 = -0.5(x-8) = -0.5x +4
y = -0.5x +4 זו משוואת הישר BC.

חלק 4.
הנקודה B היא נקודת המפגש של AB ו BC.
y = -0.5x +4 הישר BC.
y = 2x-6 הישר AB.
2x-6 = -0.5x + 4 / +0.5x + 6
2.5x = 10 / :2.5
x=4

נציב את x=4 במשוואת אחד הישרים (לא משנה איזה).
y=2*4-6=2
(B(4,2

תרגיל 2

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
(C(1,1

1. מצאו את משוואת הצלע AD.
2. מצאו את משוואת הצלע CD.
3. מצאו את הנקודה D.

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע0.5 – והנקודה(A(2,8.
(y-y₁=m(x-x₁
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1 / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * -0.5= -1
m=2
נמצא את משוואת CD על פי השיפוע 2 והנקודה (C(1,1.
(y-1=2(x-1
y-1=2x-2 /+1
y=2x-1 – זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של
y=2x-1 – הישר CD.
y= – 0.5x +9 – הישר AD.
2x-1= – 0.5x+9 / +0.5x +1
2.5x=10 /:2.5
x=4
נמצא את ערך ה Y של הנקודה D על ידי הצבה במשוואת CD.
y=2*4-1=7
(D(4,7 – זו נקודה D.